ETM Learn · 02 / 08
מוסיפים סינוסים, מגלים את הגוון ולומדים מתי רכיב הוא הרמוניה.
בשיעור הקודם השתמשנו בסינוס אחד. עכשיו נחבר כמה כדי לבנות צליל עשיר יותר. כל סינוס הוא רכיב, או Partial. נבחר יסוד של 110 הרץ: רכיבים ב־220, 330 ו־440 הרץ הם כפולות שלמות שלו, הנקראות הרמוניות. היסוד הוא 1; 220 הרץ הוא הרמוניה 2, וגם הצליל העילי הראשון בסדרה הזאת.
צורת הגל מראה את הסכום המשתנה בזמן. הספקטרום מראה אילו תדרים משתתפים ובאיזו משרעת. הגוון תלוי גם באופן שבו הצליל מתחיל, דועך ומשתנה. לא בכל צליל הרכיבים נמצאים בתדרים הרמוניים מדויקים.
מונחים המסומנים בקו מנוקד מציעים פירוש בריחוף, במיקוד מקלדת או בנגיעה. לחיצה מקבעת את הפירוש; Escape או לחיצה מחוץ לו סוגרים אותו. כל ההגדרות זמינות גם כאן.
רכיב בתדר שהוא כפולה שלמה חיובית של תדר היסוד. היסוד עצמו הוא הרמוניה 1.
אלגוריתם לחישוב התמרת פורייה הבדידה: מציג מידע ספקטרלי מתוך מקטע דגימות. אורך המקטע והחלון משפיעים על התצוגה.
מחצית קצב הדגימה. בסינתזה הזאת שומרים רכיבים מתחת לתדר זה כדי להימנע מקיפול תדרים.
התחילו ברכיב יחיד. הוסיפו רכיבים בהדרגה ואז החליפו צורת גל, בלי לשנות תדר יסוד.
נחשו מה יקרה → שנו בקרה אחת → השוו → הסבירו את התוצאה.
השוו שן מסור, מרובע ומשולש באותו מספר רכיבים. נסו לנחש איזו צורה תהיה בהירה יותר לפני ההשמעה. יותר רכיבים אינם מבטיחים צליל טוב יותר.
זהו מיתר גמיש אידאלי המקובע בשני קצותיו. כל אופן תנודה חייב להתאפס בקצוות. קשיחות ותנאי קצה במציאות יכולים להסיט את התדרים מכפולות שלמות.
בניתוח לולאה, השוו צורת גל לספקטרום. אם מוצג ניסוי מרווחים, שנו מרווח, מספר רכיבים ורגיסטר בנפרד: מד החספוס מתאר את המודל, ולא ציון אוניברסלי לקונסוננס.
רכיב ב־330 Hz ויסוד ב־110 Hz: איזו הרמוניה זו?
330/110 = 3. זו הרמוניה 3, ובסדרה הזו הצליל העילי השני.לאות מחזורי: , בתוספת DC אם הממוצע אינו אפס. בשן מסור אידאלית המשרעות דועכות כמו 1/n; במרובע סימטרי מופיעות אי־זוגיות הדועכות כמו 1/n; במשולש סימטרי הן דועכות כמו 1/n², עם סימנים מתחלפים בייצוג סינוסים מתאים. הסימן והפאזה הם חלק מהמתכון.
ליד אי־רציפות, טור פורייה קטום מציג תנודות גיבס. הוספת רכיבים מצרה את האזור אך אינה מאפסת את החריגה היחסית הגבולית. במערכת דגומה צריך להגביל רכיבים מתחת לנייקוויסט (fs/2) או לסנן אותם. אי אפשר לשחזר קפיצה אידאלית בדיוק בקצב דגימה סופי.
פעימות וחספוס תלויים בהפרש תדרים, ברמה ובספקטרום. קונסוננס מוזיקלי תלוי גם בהקשר ובלמידה. מרווחים בכיוון שווה בדרך כלל מקרבים יחסי תדר פשוטים, ולא שווים להם בדיוק.
fₙ = n · f₀
מכפילים את תדר היסוד f₀ במספר ההרמוניה n. אם היסוד 110 הרץ, הרמוניה 3 היא 330 הרץ.
x(t) = Σ Aₙ cos(2πnf₀t + φₙ)
לכל רכיב בוחרים משרעת Aₙ, תדר n כפול f₀ ופאזה φₙ. מחשבים את ערכו בזמן t ומחברים את הרכיבים; Σ פירושו סכום. מוסיפים רכיב קבוע אם הממוצע אינו אפס.
Aₙ ∝ 1/n; Aₙ ∝ 1/n²
הסימן ∝ אומר יחסי ל־. בדעיכה של 1/n, הרמוניה שמספרה גדול פי 3 מקבלת שליש משרעת. בדעיכה של 1/n² היא מקבלת תשיעית. במרובע ובמשולש הסימטריים נכללות רק הרמוניות אי־זוגיות; צריך גם לקבוע את הפאזות או הסימנים המתאימים.
השתמשו ב־20 log₁₀(1/9), כי זה יחס משרעות.
20 log₁₀(1/9) = −19.0849 dBc. בגל מרובע הרכיב המקביל הוא 1/3, כלומר −9.5424 dBc. מספר הרמוניה זהה אינו מבטיח אנרגיה זהה.
פתרו n × 3000 < 24000. הדרישה ממש מתחת מוציאה את הגבול.
n < 8, ולכן הרמוניות 1–7. הרמוניה 8 נמצאת בנייקוויסט, שם משרעת הסינוס הדגום תלויה בפאזה ולא ניתן לייצג פאזה שרירותית. הרמוניה 9 ב־27 kHz מתקפלת ל־21 kHz אם מייצרים אותה ללא סינון נגד אליאסינג.
מקור להעמקה: Julius O. Smith: Mathematics of the DFT